Condição de Lipschitz e Operador de Picard
Definição. $f: U \to \mathbb{R}^n$ satisfaz condição de Lipschitz em $y$ se existe $L \ge 0$ tal que
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|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L|y_1 - y_2| \quad \forall\, (x, y_1), (x, y_2) \in U.
$$
Operador de Picard. Defina $T: C([x_0-\delta, x_0+\delta], \mathbb{R}^n) \to C([x_0-\delta, x_0+\delta], \mathbb{R}^n)$ por
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(Ty)(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, y(t))\, dt.
$$
Pontos fixos de $T$ são soluções do PVI!
Iteração de Picard. A partir de $y_0(x) \equiv y_0$, definimos
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y_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, y_n(t))\, dt.
$$
Exemplo 3. $y' = y$, $y(0) = 1$. $y_0(x) = 1$, $y_1(x) = 1 + \int_0^x 1\,dt = 1+x$, $y_2(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}$, ... $y_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!} \to e^x$.