Teorema de Picard-Lindelöf
Teorema. Seja $f: U \to \mathbb{R}^n$ contínua e Lipschitz em $y$ com constante $L$, e $(x_0, y_0) \in U$. Então existe $\delta > 0$ tal que o PVI tem única solução $y \in C^1([x_0-\delta, x_0+\delta], \mathbb{R}^n)$.
Demonstração. Escolha $r, \delta > 0$ tais que $\overline{B}((x_0, y_0); r) \subset U$, $M = \sup|f|$ nessa bola, $\delta \le r/M$ e $\delta L < 1$.
Considere $X = {y \in C([x_0-\delta, x_0+\delta]) : |y - y_0|_\infty \le r}$ com métrica do supremo. $X$ é completo (fechado em espaço de Banach).
$T$ mapeia $X$ em $X$: $|(Ty)(x) - y_0| \le \int_{x_0}^{x}|f(t,y(t))|\,dt \le M\delta \le r$.
$T$ é contração: para $y, z \in X$,
$$
|(Ty)(x)-(Tz)(x)| \le \int_{x_0}^{x}|f(t,y(t))-f(t,z(t))|\,dt \le L\delta|y-z|\infty.
$$
Logo $|Ty-Tz|\infty \le L\delta|y-z|_\infty$ com $L\delta < 1$.
Pelo Teorema de Banach, $T$ tem único ponto fixo $y^* \in X$: solução do PVI. $\blacksquare$