Exemplos e Refinamentos
Exemplo 4. $y' = xy$, $y(0) = 1$. A função $f(x,y) = xy$ é Lipschitz em $y$ em qualquer compacto (com $L = \sup|x|$). Solução: $y = e^{x^2/2}$.
Exemplo 5. $y' = y^2$, $y(0) = 1$. Lipschitz localmente. Solução: $y = \frac{1}{1-x}$, definida em $(-\infty, 1)$. A solução explode em tempo finito! O teorema garante existência apenas local.
Observação (Peano). Se $f$ é apenas contínua (sem Lipschitz), existe solução (Teorema de Peano), mas não necessariamente única. A demonstração usa Ascoli-Arzelà, não ponto fixo.
Exemplo 6. Iteração de Picard para $y'=x+y$, $y(0)=0$: $y_0=0$, $y_1=\frac{x^2}{2}$, $y_2=\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$, $y_3=\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}$. Solução exata: $y=e^x-x-1$.
Teorema (Prolongamento). A solução pode ser estendida enquanto a curva $(x, y(x))$ permanecer em um compacto de $U$.