Teorema do Ponto Fixo de Banach

Nesta lição introduzimos o conceito de contração em espaços métricos completos e demonstramos o Teorema do Ponto Fixo de Banach, resultado central para existência e unicidade em equações.

Contrações

Definição. Seja $(X, d)$ um espaço métrico. Uma aplicação $T: X \to X$ é uma contração se existe $\lambda \in [0,1)$ tal que
$$
d(T(x), T(y)) \le \lambda\, d(x, y) \quad \forall\, x, y \in X.
$$
O número $\lambda$ é a constante de contração (ou constante de Lipschitz).

Observação. Toda contração é contínua (de fato, uniformemente contínua e Lipschitz).

Exemplo 1. $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $T(x) = x/2 + 1$. Então $|T(x)-T(y)| = |x-y|/2$, contração com $\lambda = 1/2$. Ponto fixo: $x = x/2+1 \implies x = 2$.

Exemplo 2. $T(x) = \cos x$ em $[0,1]$. $|T(x)-T(y)| = |\cos x - \cos y| \le |\sin\xi||x-y| \le \sin(1)|x-y|$ com $\sin(1) \approx 0{,}841 < 1$.