Teorema do Ponto Fixo de Banach
Teorema. Seja $(X, d)$ um espaço métrico completo e $T: X \to X$ uma contração com constante $\lambda \in [0,1)$. Então:
- $T$ possui um único ponto fixo $x^ \in X$ (i.e., $T(x^) = x^*$).
- Para qualquer $x_0 \in X$, a sequência $x_{n+1} = T(x_n)$ converge para $x^*$.
- Taxa de convergência: $d(x_n, x^*) \le \frac{\lambda^n}{1-\lambda}\,d(x_0, x_1)$.
Demonstração.
Existência. Fixe $x_0 \in X$ e defina $x_{n+1} = T(x_n)$. Mostremos que $(x_n)$ é de Cauchy. Temos:
$$
d(x_{n+1}, x_n) = d(T(x_n), T(x_{n-1})) \le \lambda\, d(x_n, x_{n-1}) \le \cdots \le \lambda^n d(x_1, x_0).
$$
Para $m > n$:
$$
d(x_m, x_n) \le \sum_{k=n}^{m-1} d(x_{k+1}, x_k) \le d(x_1, x_0)\sum_{k=n}^{m-1}\lambda^k \le \frac{\lambda^n}{1-\lambda}\,d(x_1, x_0).
$$
Como $\lambda^n \to 0$, $(x_n)$ é de Cauchy. Pela completude, $x_n \to x^$ para algum $x^ \in X$.
Como $T$ é contínua: $T(x^) = T(\lim x_n) = \lim T(x_n) = \lim x_{n+1} = x^$.
Unicidade. Se $T(y^) = y^$, então $d(x^, y^) = d(T(x^), T(y^)) \le \lambda\,d(x^, y^)$. Como $\lambda < 1$, segue $d(x^, y^) = 0$, i.e., $x^ = y^$.
Estimativa. Passando $m \to \infty$ em $d(x_m, x_n) \le \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_1, x_0)$ obtemos $d(x^*, x_n) \le \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_1, x_0)$. $\blacksquare$