Taxa de Convergência e Estimativa a Priori/a Posteriori
Estimativa a priori: $d(x_n, x^*) \le \frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0, x_1)$.
Estimativa a posteriori: $d(x_n, x^*) \le \frac{\lambda}{1-\lambda}d(x_n, x_{n-1})$.
Demonstração da estimativa a posteriori. $d(x_n,x^)\le\sum_{k=0}^{\infty}d(x_{n+k+1},x_{n+k})\le d(x_n,x_{n-1})\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^k=\frac{\lambda}{1-\lambda}d(x_n,x_{n-1})$. Não, corrigindo: $d(x_{n+k+1},x_{n+k})\le\lambda^{k+1}d(x_n,x_{n-1})$. Logo $d(x_n,x^)\le\frac{\lambda}{1-\lambda}d(x_n,x_{n-1})$. $\blacksquare$
Exemplo 3. $T(x)=\cos x$ em $\mathbb{R}$, $x_0=0$: $x_1=1$, $x_2=\cos 1\approx 0{,}5403$, $x_3\approx 0{,}8576$, convergindo para $x^*\approx 0{,}7391$ (solução de $\cos x = x$).
Exemplo 4. $T(x)=x/3+2$ em $\mathbb{R}$: $\lambda=1/3$, ponto fixo $x^*=3$. Com $x_0=0$: $d(x_n,3)\le\frac{(1/3)^n}{2/3}\cdot 2=3\cdot(1/3)^n$.