Método de Newton
O método de Newton para resolver $f(x) = 0$ consiste na iteração $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
Teorema (convergência local de Newton). Se $f \in C^2$, $f(x^)=0$, $f'(x^)\neq 0$, então existe $\delta > 0$ tal que para $|x_0 - x^| < \delta$, a iteração de Newton converge para $x^$ com convergência quadrática: $|x_{n+1}-x^| \le C|x_n-x^|^2$.
Demonstração (esboço). Defina $g(x) = x - f(x)/f'(x)$. Então $g(x^)=x^$ e $g'(x^) = 1 - 1 + \frac{f(x^)f''(x^)}{f'(x^)^2} = 0$. Por Taylor: $g(x)-x^ = g'(x^)(x-x^)+\frac{g''(\xi)}{2}(x-x^)^2 = \frac{g''(\xi)}{2}(x-x^)^2$. Logo $|x_{n+1}-x^| \le C|x_n-x^|^2$ com $C = \sup|g''|/2$. Para $|x_0-x^|$ pequeno, $C|x_0-x^*|<1$ e a convergência é garantida. $\blacksquare$
Exemplo 5. $f(x)=x^2-2$, $f'(x)=2x$, $g(x)=x-\frac{x^2-2}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$. Com $x_0=1$: $x_1=1{,}5$, $x_2=1{,}41\overline{6}$, $x_3=1{,}41421\overline{5}$, convergindo para $\sqrt{2}$.