Generalizações e Observações
Observação 1. A hipótese de completude é essencial. Em $\mathbb{Q}$, $T(x)=x/2+1/x$ é contração perto de $\sqrt{2}$, mas $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$.
Observação 2. A hipótese $\lambda < 1$ é essencial. $T(x) = x+1/x$ para $x > 0$ satisfaz $|T(x)-T(y)| < |x-y|$ para $x,y$ distantes de $0$, mas não tem ponto fixo.
Observação 3. O teorema se aplica a espaços de Banach (espaços vetoriais normados completos), em particular para operadores em espaços de funções — base para Picard-Lindelöf.
Exemplo 6. No espaço $C([0,1])$ com norma do supremo, o operador $T(f)(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ satisfaz $|T(f)-T(g)|\infty\le|f-g|\infty$ (contração com $\lambda=1$), mas não é estritamente contração. Porém $T^n$ é contração para $n$ grande ($|T^n(f)-T^n(g)|\le\frac{1}{n!}|f-g|$), e pode-se aplicar o teorema a $T^n$.