Composição de Funções Contínuas
Teorema. Se $f\colon E\to F$ é contínua em $p$ e $g\colon F\to G$ é contínua em $f(p)$, então $g\circ f\colon E\to G$ é contínua em $p$.
Demonstração. Dado $\varepsilon>0$, existe $\eta>0$ com $d_F(y,f(p))<\eta\implies d_G(g(y),g(f(p)))<\varepsilon$. Existe $\delta>0$ com $d_E(x,p)<\delta\implies d_F(f(x),f(p))<\eta$. Logo $d_E(x,p)<\delta\implies d_G(g(f(x)),g(f(p)))<\varepsilon$. $\square$
Exemplo 4. $h(x) = \sqrt{x^2+1}$ é contínua (composição de $x\mapsto x^2+1$ e $t\mapsto\sqrt{t}$).
Exemplo 5. $h(x) = |P(x)|$ é contínua para todo polinômio $P$ (composição com $|\cdot|$).
Exemplo 6. $h(x)=\sin(1/x)$ é contínua em $\mathbb{R}\setminus{0}$ (composição de $x\mapsto 1/x$ e $\sin$).