Funções Componentes
Definição. Se $f\colon E\to\mathbb{R}^n$, as funções componentes de $f$ são $f_1,\dots,f_n\colon E\to\mathbb{R}$ com $f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))$.
Proposição. $f$ é contínua se e somente se cada $f_i$ é contínua.
Demonstração. Como $|f_i(x)-f_i(p)|\le d(f(x),f(p))\le\sqrt{n}\max_i|f_i(x)-f_i(p)|$, a convergência $f(x_n)\to f(p)$ equivale a $f_i(x_n)\to f_i(p)$ para todo $i$. $\square$
Exemplo 7. $\gamma\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$, $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ é contínua (ambas as componentes são contínuas).
Exemplo 8. A projeção $\pi_i\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, $\pi_i(x_1,\dots,x_n)=x_i$ é contínua.