Funções Limitadas e Extremos
Definição. $f\colon E\to\mathbb{R}$ é limitada se existe $M>0$ com $|f(x)|\le M$ para todo $x\in E$.
Teorema (Weierstrass). Se $f\colon K\to\mathbb{R}$ é contínua e $K$ é compacto, então $f$ é limitada e atinge seus valores máximo e mínimo: existem $x_0,x_1\in K$ com $f(x_0)=\inf f(K)$ e $f(x_1)=\sup f(K)$.
Demonstração. $f(K)$ é compacto em $\mathbb{R}$ (imagem contínua de compacto é compacto), logo é fechado e limitado. Como é limitado, $\sup f(K)$ e $\inf f(K)$ existem. Como é fechado, estes valores pertencem a $f(K)$. $\square$
Exemplo 9. $f(x)=x^2$ em $[0,3]$: $\min=f(0)=0$, $\max=f(3)=9$.
Exemplo 10. $f(x)=1/x$ em $(0,1)$: não é limitada — o domínio não é compacto.
Exemplo 11. $f(x)=x$ em $[0,1)$: $\sup=1$ mas não é atingido — domínio não é compacto.
Exemplo 12. $f(x,y) = x^2+y^2$ em $\overline{B}((0,0),1)\subseteq\mathbb{R}^2$: $\min=0$ em $(0,0)$, $\max=1$ na fronteira $S^1$.