Monotonicidade
Teorema. Se $f,g$ são integráveis em $[a,b]$ e $f(x)\leq g(x)$ para todo $x\in[a,b]$, então
$$\int_a^b f \leq \int_a^b g.$$
Demonstração. $h = g-f \geq 0$ é integrável (linearidade). Para qualquer partição, $L(h,P)\geq 0$, logo $\int h \geq 0$. Portanto $\int g - \int f = \int(g-f)\geq 0$. $\blacksquare$
Exemplo 3. Como $0\leq x^2\leq x$ em $[0,1]$: $0\leq\int_0^1 x^2\leq\int_0^1 x$, i.e., $0\leq\frac{1}{3}\leq\frac{1}{2}$. ✓