Aditividade em intervalos
Teorema. Se $f$ é integrável em $[a,b]$ e $c\in(a,b)$, então $f$ é integrável em $[a,c]$ e $[c,b]$, e
$$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f.$$
Demonstração (esboço). Para qualquer $\varepsilon>0$, tome $P$ partição de $[a,b]$ com $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$ e $c\in P$ (adicione $c$ se necessário). Então $P$ se decompõe em partições $P_1$ de $[a,c]$ e $P_2$ de $[c,b]$ com $U(f,P_i)-L(f,P_i)<\varepsilon$ individualmente. Logo $f$ é integrável em cada subintervalo, e a igualdade segue. $\blacksquare$
Exemplo 4. $\int_0^2 x\,dx = \int_0^1 x\,dx + \int_1^2 x\,dx = \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$. Verificação: $\int_0^2 x\,dx = 2^2/2=2$. ✓