Funções escada
Definição. $\varphi:[a,b]\to\mathbb{R}$ é uma função escada se existe partição $P={x_0,\ldots,x_n}$ tal que $\varphi$ é constante em cada $(x_{i-1},x_i)$.
Proposição. Toda função escada é integrável e
$$\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^n c_i(x_i-x_{i-1}),$$
onde $c_i$ é o valor de $\varphi$ em $(x_{i-1},x_i)$.
Demonstração. Para a partição $P$: $m_i=M_i=c_i$ (os valores nos pontos $x_i$ não afetam inf e sup), logo $L(\varphi,P)=U(\varphi,P)$. $\blacksquare$
Exemplo 5. $\varphi(x) = \begin{cases}1 & 0<x\leq 1/2,\ 3 & 1/2<x\leq 1\end{cases}$. Então $\int_0^1\varphi = 1\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{1}{2}=2$.