Funções contínuas são integráveis
Teorema. Se $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ é contínua, então $f$ é integrável.
Demonstração. $f$ contínua em $[a,b]$ compacto é uniformemente contínua: dado $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que $|x-y|<\delta\implies|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$.
Tome partição $P$ com $|P|<\delta$. Em cada $[x_{i-1},x_i]$, $M_i-m_i < \frac{\varepsilon}{b-a}$ (pois o intervalo tem comprimento $<\delta$). Logo:
$$U(f,P)-L(f,P)=\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1})<\frac{\varepsilon}{b-a}\sum(x_i-x_{i-1})=\varepsilon.$$
Pelo critério, $f$ é integrável. $\blacksquare$
Exemplo 6. $f(x)=\sin x$ é contínua em $[0,\pi]$, logo é integrável.