Derivadas de Ordem Superior e Teorema de Schwarz
Definição. Se $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ é ela mesma diferenciável em relação a $x_j$,
escrevemos $\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$.
Teorema (Schwarz/Clairaut). Se $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ e
$\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ existem e são contínuas numa vizinhança de $a$,
então
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a).$$
Demonstração (esboço). Considere a diferença mista
$$\Delta(h,k) = f(a_1+h, a_2+k) - f(a_1+h, a_2) - f(a_1, a_2+k) + f(a_1, a_2).$$
Aplique o TVM duas vezes: $\Delta = hk \, \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a_1+\theta_1 h, a_2+\theta_2 k)$.
Analogamente, trocando a ordem: $\Delta = hk \, \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a_1+\theta_3 h, a_2+\theta_4 k)$.
Dividindo por $hk$ e tomando $h,k \to 0$, a continuidade dá a igualdade. $\square$
Exemplo 4. $f(x,y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$:
$f_{xy} = 3x^2 \cdot 2y + y\cos(xy) + x \cdot (-y\sin(xy)) \cdot ?$
Calculemos corretamente: $f_x = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$, $f_{xy} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$.
Também $f_y = 2x^3 y + x\cos(xy)$, $f_{yx} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$. Iguais. $\checkmark$