Fórmula de Taylor em Várias Variáveis
Teorema (Taylor, ordem 2). Seja $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$.
Então, para $a \in U$ e $h$ suficientemente pequeno,
$$f(a+h) = f(a) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) h_i + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) h_i h_j + R_2(h),$$
com $R_2(h)/|h|^2 \to 0$ quando $h \to 0$.
De forma compacta: $f(a+h) = f(a) + Df(a)h + \frac{1}{2} h^T H_f(a) h + o(|h|^2)$,
onde $H_f(a) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right)$ é a matriz hessiana.
Exemplo 5. $f(x,y) = e^{x+y}$ em $a = (0,0)$: $f(0,0) = 1$, $\nabla f = (e^{x+y}, e^{x+y})$,
$H_f = \begin{pmatrix} e^{x+y} & e^{x+y} \ e^{x+y} & e^{x+y} \end{pmatrix}$.
Em $(0,0)$: $f(h_1,h_2) \approx 1 + h_1 + h_2 + \frac{1}{2}(h_1^2 + 2h_1h_2 + h_2^2) = 1 + (h_1+h_2) + \frac{(h_1+h_2)^2}{2}$.
De fato, $e^{h_1+h_2} \approx 1 + (h_1+h_2) + \frac{(h_1+h_2)^2}{2}$. $\checkmark$