Teorema do Valor Médio
Teorema (TVM em várias variáveis). Seja $f: U \to \mathbb{R}$ diferenciável em $U$ aberto convexo.
Para $a, b \in U$, existe $c$ no segmento aberto de $a$ a $b$ tal que
$$f(b) - f(a) = Df(c)(b-a) = \nabla f(c) \cdot (b-a).$$
Demonstração. Aplique o TVM unidimensional a $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$, $t \in [0,1]$.
Existe $\theta \in (0,1)$ com $\varphi(1) - \varphi(0) = \varphi'(\theta)$.
Pela regra da cadeia, $\varphi'(t) = Df(a+t(b-a))(b-a)$.
Tome $c = a + \theta(b-a)$. $\square$
Exemplo 6. $f(x,y) = x^2 + y^2$, $a = (0,0)$, $b = (1,1)$. Então $f(b)-f(a) = 2$.
$\nabla f(c) \cdot (1,1) = (2c_1+2c_2)$ para $c = \theta(1,1)$. Precisa $2\theta + 2\theta = 2$,
logo $\theta = 1/2$, $c = (1/2, 1/2)$.