Operador Diferencial
Definição. Um operador diferencial de ordem $k$ é uma expressão da forma
$$L = \sum_{|\alpha| \leq k} a_\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}},$$
onde $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ é um multi-índice com $|\alpha| = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n$.
Exemplo 7 (Laplaciano). $\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}$
é um operador diferencial de ordem 2. Uma função com $\Delta f = 0$ é chamada harmônica.
Para $f(x,y) = x^2 - y^2$: $\Delta f = 2 + (-2) = 0$. Harmônica!
Para $g(x,y) = \ln(x^2+y^2)$ ($\neq (0,0)$): $g_{xx} = \frac{2(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}$,
$g_{yy} = \frac{2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$, $\Delta g = 0$. Harmônica!
Exemplo 8 (Equação do calor). $\frac{\partial u}{\partial t} = k \Delta u$, $k > 0$.
Verificar: $u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-x^2/(4kt)}$ resolve a equação em 1D.