Regra do Produto (Leibniz)
Teorema. Se $f$ e $g$ são diferenciáveis em $a$, então $fg$ é diferenciável em $a$ e
$$(fg)'(a) = f'(a)\,g(a) + f(a)\,g'(a).$$
Demonstração. Usamos o truque clássico de somar e subtrair:
$$\frac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)}{h} = \frac{[f(a+h)-f(a)]g(a+h)}{h} + \frac{f(a)[g(a+h)-g(a)]}{h}.$$
Quando $h\to 0$: o primeiro quociente converge para $f'(a)$, e $g(a+h)\to g(a)$ (por continuidade, pois $g$ é diferenciável). O segundo converge para $f(a)g'(a)$. Portanto:
$$(fg)'(a) = f'(a)g(a)+f(a)g'(a). \quad\blacksquare$$
Exemplo 3. $f(x)=x^2 \cdot x^3 = x^5$. Pela regra do produto: $f'(x)=2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=2x^4+3x^4=5x^4$. Confere!
Exemplo 4. Se $h(x)=(x+1)(x^2+1)$, então $h'(x)=1\cdot(x^2+1)+(x+1)\cdot 2x = 3x^2+2x+1$.