Regra do Quociente
Teorema. Se $f$ e $g$ são diferenciáveis em $a$ e $g(a)\neq 0$, então $f/g$ é diferenciável em $a$ e
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a)\,g(a) - f(a)\,g'(a)}{[g(a)]^2}.$$
Demonstração. Escrevemos $f/g = f \cdot (1/g)$. Já provamos que $(1/g)'(a) = -g'(a)/[g(a)]^2$. Pela regra do produto:
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = f'(a)\cdot\frac{1}{g(a)} + f(a)\cdot\frac{-g'(a)}{[g(a)]^2} = \frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{[g(a)]^2}.\quad\blacksquare$$
Exemplo 5. $f(x)=\frac{x}{x+1}$, $x\neq -1$:
$$f'(x) = \frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}.$$
Exemplo 6. $f(x)=\frac{x^2}{x^3+1}$: $f'(0)=\frac{0\cdot 1-0\cdot 0}{1}=0$.