Regra da Cadeia
Teorema (Regra da Cadeia). Sejam $f$ diferenciável em $a$ e $g$ diferenciável em $f(a)$. Então $g \circ f$ é diferenciável em $a$ e
$$(g \circ f)'(a) = g'(f(a))\cdot f'(a).$$
Demonstração. Defina, para $y \neq f(a)$:
$$\varphi(y) = \frac{g(y)-g(f(a))}{y - f(a)}, \quad \varphi(f(a)) = g'(f(a)).$$
Como $g$ é diferenciável em $f(a)$, $\varphi$ é contínua em $f(a)$. Para $h$ suficientemente pequeno com $f(a+h)\neq f(a)$:
$$\frac{g(f(a+h))-g(f(a))}{h} = \varphi(f(a+h))\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$
Se $f(a+h) = f(a)$, ambos os lados são $0$. Tomando $h\to 0$: $f(a+h)\to f(a)$ (continuidade), logo $\varphi(f(a+h))\to g'(f(a))$, e $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a)$. Portanto:
$$(g\circ f)'(a) = g'(f(a))\cdot f'(a).\quad\blacksquare$$