Derivada da função inversa
Teorema. Seja $f$ contínua e estritamente monótona num intervalo aberto $I$, e diferenciável em $a \in I$ com $f'(a) \neq 0$. Então $f^{-1}$ é diferenciável em $b = f(a)$ e
$$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}.$$
Exemplo 10. $f(x) = x^n$ para $x > 0$, $n \geq 1$. Então $f^{-1}(y) = y^{1/n}$ e $f'(x) = nx^{n-1}$. Logo:
$$(y^{1/n})' = \frac{1}{n(y^{1/n})^{n-1}} = \frac{1}{n}\,y^{1/n - 1}.$$
Isto estende a fórmula $(x^r)' = rx^{r-1}$ para expoentes racionais $r = 1/n$.