O Produto de Wallis
Teorema (Wallis). $\displaystyle\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdots(2n)(2n)}{1\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdots(2n-1)(2n+1)}$.
Demonstração (esboço). Defina $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$. Por integração por partes: $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$. Logo $I_{2n}=\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\frac{\pi}{2}$ e $I_{2n+1}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$. Como $\sin^{2n+1}x\le\sin^{2n}x\le\sin^{2n-1}x$ em $[0,\pi/2]$: $I_{2n+1}\le I_{2n}\le I_{2n-1}$. Dividindo por $I_{2n+1}$: $1\le\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}\le\frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}}=\frac{2n+1}{2n}\to 1$. Logo $\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}\to 1$. Calculando $\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}}=\frac{\pi}{2}\frac{[(2n)!]^2}{4^{2n}(n!)^4}(2n+1)$, obtém-se a fórmula de Wallis. $\blacksquare$
Exemplo 3. Primeiros fatores: $\frac{4}{3}\cdot\frac{16}{15}\cdot\frac{36}{35}\cdots\to\frac{\pi}{2}\approx 1{,}5708$.