Fórmula de Stirling
Teorema (Stirling). $\displaystyle n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$, i.e., $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}(n/e)^n}=1$.
Demonstração (esboço). Defina $a_n=\frac{n!e^n}{n^{n+1/2}}$. Mostra-se que $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(1+1/n)^{n+1/2}}{e}\to 1$ e que $\ln\frac{a_{n+1}}{a_n}$ é monótono, de modo que $(a_n)$ converge para algum $L>0$. O produto de Wallis permite identificar $L=\sqrt{2\pi}$. $\blacksquare$
Exemplo 4. $10!\approx\sqrt{20\pi}\cdot(10/e)^{10}\approx 3598695{,}6$ vs. $10!=3628800$. Erro $<1\%$.
Exemplo 5. Consequência: $\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$.