Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema. Todo polinômio $p(z)=a_n z^n+\cdots+a_0$ de grau $n\ge 1$ com coeficientes complexos tem pelo menos uma raiz em $\mathbb{C}$.
Demonstração (via Análise, Rosenlicht). Considere $|p(z)|$. Como $|p(z)|\to\infty$ quando $|z|\to\infty$, $|p|$ atinge um mínimo em algum $z_0\in\mathbb{C}$. Suponha $p(z_0)\neq 0$. Sem perda de generalidade, $z_0=0$ e $p(0)=1$ (dividindo e transladando). Escreva $p(z)=1+b_m z^m+\cdots$ com $b_m\neq 0$. Escolhendo $z=re^{i\theta}$ com $\theta$ tal que $b_m e^{im\theta}$ é real negativo e $r$ pequeno: $|p(z)|\le 1-|b_m|r^m+O(r^{m+1})<1=|p(0)|$, contradizendo a minimalidade. $\blacksquare$
Corolário. Todo polinômio de grau $n$ tem exatamente $n$ raízes em $\mathbb{C}$ (contando multiplicidade).