Função Contínua Não Diferenciável em Nenhum Ponto
Teorema (Weierstrass). Existe uma função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ contínua em todo ponto e diferenciável em nenhum ponto.
Construção. Seja $\varphi(x)=|x|$ para $|x|\le 1$, estendida com período $2$. Defina
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n \varphi(4^n x).
$$
A série converge uniformemente (teste M: $\left(\frac{3}{4}\right)^n\cdot 1$ e $\sum(3/4)^n<\infty$), logo $f$ é contínua.
Não-diferenciabilidade (esboço). Fixe $x_0$. Para cada $m$, escolha incrementos $\delta_m=\pm 4^{-m}$ tais que $\frac{\varphi(4^n(x_0+\delta_m))-\varphi(4^n x_0)}{\delta_m}$ pode ser controlado: para $n
Exemplo 6. A função de Weierstrass é o primeiro exemplo explícito (1872) mostrando que continuidade não implica diferenciabilidade, nem mesmo em um único ponto.
Exemplo 7. A convergência uniforme é essencial: cada $\varphi_n(x)=(3/4)^n\varphi(4^n x)$ é diferenciável q.t.p., mas o limite não é diferenciável em ponto algum.