Sequências de Funções

Convergência Pontual

Definição. Uma sequência de funções $(f_n)$, $f_n\colon E\to F$, converge pontualmente para $f\colon E\to F$ se, para todo $x\in E$,
$$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x).$$

Exemplo 1. $f_n(x)=x^n$ em $[0,1]$. Para $x\in[0,1)$: $x^n\to 0$. Para $x=1$: $1^n=1$. Limite pontual:
$$f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1\1,&x=1\end{cases}$$
Cada $f_n$ é contínua, mas $f$ é descontínua.

Exemplo 2. $f_n(x)=x/n$ em $\mathbb{R}$: $f_n(x)\to 0$ para todo $x$. Limite $f\equiv 0$.

Exemplo 3. $f_n(x)=\frac{nx}{1+nx^2}$ para $x\ge 0$. Para $x>0$: $f_n(x)=\frac{n x}{1+nx^2}\to\frac{1}{x}$... Não: $f_n(x)=\frac{x}{1/n+x^2}\to 1/x$ para $x>0$. Para $x=0$: $f_n(0)=0$. Limite descontínuo em $0$.