Convergência Uniforme
Definição. $(f_n)$ converge uniformemente para $f$ em $E$ se
$$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in E}d_F(f_n(x),f(x))=0.$$
Equivalentemente: para todo $\varepsilon>0$, existe $N$ tal que $n\ge N\implies d_F(f_n(x),f(x))<\varepsilon$ para todo $x\in E$.
A diferença: na convergência pontual, $N$ depende de $x$ e $\varepsilon$; na uniforme, $N$ depende apenas de $\varepsilon$.
Exemplo 4. $f_n(x)=x/n$ converge uniformemente para $0$ em $[0,1]$: $\sup_{x\in[0,1]}|x/n|=1/n\to 0$. Mas não converge uniformemente em $\mathbb{R}$: $\sup_{x\in\mathbb{R}}|x/n|=+\infty$.
Exemplo 5. $f_n(x)=x^n$ em $[0,1]$ não converge uniformemente: $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)| \ge |f_n(1-1/n)-f(1-1/n)| = (1-1/n)^n \to 1/e \neq 0$.
Exemplo 6. $f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n}$ converge uniformemente para $0$ em $\mathbb{R}$: $\sup|f_n(x)|\le 1/n\to 0$.