Limite Uniforme Preserva Continuidade
Teorema. Se cada $f_n\colon E\to F$ é contínua e $f_n\to f$ uniformemente, então $f$ é contínua.
Demonstração. Dado $\varepsilon>0$, existe $N$ com $d(f_n(x),f(x))<\varepsilon/3$ para todo $x$ e $n\ge N$. Como $f_N$ é contínua em $p$, existe $\delta>0$ com $d(x,p)<\delta\implies d(f_N(x),f_N(p))<\varepsilon/3$. Logo:
$$d(f(x),f(p)) \le d(f(x),f_N(x))+d(f_N(x),f_N(p))+d(f_N(p),f(p)) < \varepsilon. \quad\square$$
Exemplo 7. $f_n(x)=x^n$ em $[0,1]$: convergência não uniforme, e de fato o limite é descontínuo.
Exemplo 8. $f_n(x)=\sum_{k=0}^n x^k/k!$ converge uniformemente em $[-M,M]$ (para cada $M$) para $e^x$, que é contínua.