Métrica do Supremo e Completude de $C(X)$
Definição. Para funções limitadas $f,g\colon E\to\mathbb{R}$, a métrica do supremo (ou da convergência uniforme) é
$$d_\infty(f,g)=\sup_{x\in E}|f(x)-g(x)|.$$
Convergência nesta métrica é exatamente convergência uniforme.
Teorema. Se $X$ é um espaço métrico compacto, o espaço $C(X)$ das funções contínuas $f\colon X\to\mathbb{R}$, com a métrica do supremo, é um espaço métrico completo.
Demonstração. Seja $(f_n)$ de Cauchy em $C(X)$. Para cada $x$, $(f_n(x))$ é de Cauchy em $\mathbb{R}$ (completo), logo converge para algum $f(x)$. A convergência é uniforme (pois Cauchy uniforme + pontual convergente ⟹ uniforme convergente). Pelo teorema anterior, $f$ é contínua, logo $f\in C(X)$. $\square$
Exemplo 9. $d_\infty(\sin, \cos)=\sup_x|\sin x-\cos x|=\sqrt{2}$ (máximo de $|\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)|$).
Exemplo 10. No espaço $C([0,1])$: $d_\infty(x^2, x^3) = \sup_{x\in[0,1]}|x^2-x^3| = \sup_{x\in[0,1]}x^2(1-x)$. Derivando: $2x-3x^2=0$, logo $x=2/3$. Valor: $(4/9)(1/3)=4/27$.