Curvas que Preenchem o Espaço
Teorema (Peano, 1890). Existe uma função contínua sobrejetora $\gamma\colon[0,1]\to[0,1]^2$.
Isto é surpreendente: uma curva contínua pode preencher todo o quadrado! A construção original de Peano usa representação em base $3$.
Observação. Tal $\gamma$ não pode ser injetiva (pois $[0,1]$ e $[0,1]^2$ não são homeomorfos — remover um ponto de $[0,1]$ o desconecta, mas remover um ponto de $[0,1]^2$ não necessariamente).
Exemplo 11. A curva de Hilbert é uma sequência $(f_n)$ de curvas contínuas $f_n\colon[0,1]\to[0,1]^2$ que converge uniformemente para uma curva sobrejetora.
Exemplo 12. Consequência: a dimensão topológica não é preservada por funções contínuas sobrejetoras. Isto motivou o desenvolvimento da teoria da dimensão.
Proposição. O espaço das funções contínuas $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^2$ com a métrica do supremo contém uma função sobrejetora sobre $[0,1]^2$. De fato, tais funções são densas (qualquer função contínua pode ser aproximada uniformemente por uma curva que preenche uma vizinhança de sua imagem).