Série Geométrica
Proposição. Seja $r \in \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$). A série geométrica
$$
\sum_{n=0}^{\infty} r^n
$$
converge se e somente se $|r| < 1$, e nesse caso sua soma é $\dfrac{1}{1-r}$.
Demonstração. A soma parcial é $S_N = \sum_{n=0}^{N} r^n = \dfrac{1 - r^{N+1}}{1 - r}$ para $r \neq 1$. Se $|r| < 1$, então $|r^{N+1}| = |r|^{N+1} \to 0$, logo $S_N \to \frac{1}{1-r}$. Se $|r| \ge 1$, então $|r^n| \not\to 0$, logo pelo teste do termo geral a série diverge. $\blacksquare$
Exemplo 1. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1-1/2} = 2.$
Exemplo 2. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{3}\right)^n = \frac{1}{1+1/3} = \frac{3}{4}.$
Exemplo 3. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n} - 1 = 2 - 1 = 1.$