Série Harmônica
Proposição. A série harmônica $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverge.
Demonstração (agrupamento de Oresme). Agrupamos os termos:
$$
\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right) + \cdots
$$
Cada grupo tem soma $\ge \frac{1}{2}$. De fato, o $k$-ésimo grupo (para $k \ge 2$) contém $2^{k-2}$ termos, cada um $\ge \frac{1}{2^{k-1}}$, totalizando $\ge \frac{1}{2}$. Logo $S_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2} \to \infty$. $\blacksquare$
Exemplo 4. Apesar de $\frac{1}{n}\to 0$, a série diverge — ilustrando que a condição necessária $a_n\to 0$ não é suficiente.
Exemplo 5. A série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ converge (será provado pelo teste integral). Sua soma é $\frac{\pi^2}{6}$ (resultado de Euler).