Teste da Comparação
Teorema (Teste da Comparação). Sejam $(a_n), (b_n)$ sequências com $0 \le a_n \le b_n$ para todo $n$ suficientemente grande.
- Se $\sum b_n$ converge, então $\sum a_n$ converge.
- Se $\sum a_n$ diverge, então $\sum b_n$ diverge.
Demonstração. (1) As somas parciais de $\sum a_n$ são crescentes e limitadas superiormente por $\sum b_n$, logo convergem pelo axioma do supremo. (2) é a contrapositiva de (1). $\blacksquare$
Exemplo 6. $\displaystyle\sum \frac{1}{n^2}$ converge, pois $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ para $n\ge 2$, e a série telescópica $\sum\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$ converge (soma $= 1$).
Exemplo 7. $\displaystyle\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, pois $\frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{1}{n}$ para $n\ge 1$.
Exemplo 8. $\displaystyle\sum \frac{1}{n^2+n}$ converge, pois $\frac{1}{n^2+n} \le \frac{1}{n^2}$.