Convergência Absoluta e Séries Alternadas
Definição. A série $\sum a_n$ converge absolutamente se $\sum |a_n|$ converge.
Teorema. Se $\sum a_n$ converge absolutamente, então $\sum a_n$ converge.
Demonstração. Basta notar que as somas parciais de $\sum a_n$ formam sequência de Cauchy: para $M > N$,
$$
\left|\sum_{n=N+1}^{M} a_n\right| \le \sum_{n=N+1}^{M} |a_n| \to 0
$$
pela convergência de $\sum |a_n|$. Pela completude de $\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$), $\sum a_n$ converge. $\blacksquare$
Uma série que converge mas não absolutamente é dita condicionalmente convergente.
Teorema (Leibniz — Séries Alternadas). Se $(a_n)$ é decrescente, $a_n \ge 0$ e $a_n \to 0$, então $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n$ converge.
Demonstração. As somas parciais pares $S_{2N} = \sum_{n=1}^{2N}(-1)^{n+1}a_n$ são crescentes (pois $S_{2N+2}-S_{2N} = a_{2N+1}-a_{2N+2}\ge 0$) e limitadas (pois $S_{2N} \le a_1$). Logo convergem para algum $S$. Analogamente $S_{2N+1} = S_{2N}+a_{2N+1}\to S+0=S$. $\blacksquare$
Exemplo 9. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2.$ Converge condicionalmente.
Exemplo 10. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ converge absolutamente.