Séries de Potências
Nesta lição estudamos séries de potências, raio de convergência, convergência uniforme e a troca de operações de limite (diferenciação e integração termo a termo).
Definição e Raio de Convergência
Definição. Uma série de potências (real) é uma série da forma
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, \qquad a_n \in \mathbb{R},\; x \in \mathbb{R}.
$$
Mais geralmente, $\sum a_n (x - c)^n$ centrada em $c$.
Teorema (Hadamard). Para a série $\sum a_n x^n$, defina
$$
\frac{1}{R} = \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n},
$$
com a convenção $1/0 = \infty$ e $1/\infty = 0$. Então:
- A série converge absolutamente para $|x| < R$.
- A série diverge para $|x| > R$.
O número $R \in [0,\infty]$ é o raio de convergência.
Demonstração. $\limsup \sqrt[n]{|a_n x^n|} = |x|\limsup|a_n|^{1/n} = |x|/R$. Pelo teste da raiz, converge se $|x|/R < 1$ e diverge se $|x|/R > 1$. $\blacksquare$
Exemplo 1. $\sum x^n$: $|a_n|^{1/n}=1$, logo $R=1$. Converge em $(-1,1)$.
Exemplo 2. $\sum \frac{x^n}{n!}$: $|a_n|^{1/n}=\frac{1}{(n!)^{1/n}}\to 0$, logo $R=\infty$.
Exemplo 3. $\sum n! x^n$: $|a_n|^{1/n}=(n!)^{1/n}\to\infty$, logo $R=0$.