Convergência Uniforme
Definição. Uma sequência de funções $f_n: E \to \mathbb{R}$ converge uniformemente para $f$ em $E$ se
$$
\sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| \to 0.
$$
Teorema. A série $\sum a_n x^n$ com raio $R > 0$ converge uniformemente em $[-r, r]$ para todo $0 < r < R$.
Demonstração. Para $|x| \le r < R$, temos $|a_n x^n| \le |a_n| r^n$. Como $\sum |a_n| r^n$ converge (pois $r < R$), pelo teste M de Weierstrass, a convergência é uniforme. $\blacksquare$
Teste M de Weierstrass. Se $|f_n(x)| \le M_n$ para todo $x \in E$ e $\sum M_n < \infty$, então $\sum f_n$ converge uniformemente em $E$.
Exemplo 4. $\sum \frac{x^n}{n^2}$ tem $R = 1$ e converge uniformemente em $[-r,r]$ para $r < 1$. Também converge uniformemente em $[-1,1]$ pois $\left|\frac{x^n}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2}$.