Continuidade, Integração e Diferenciação Termo a Termo
Teorema (Continuidade). Se $\sum f_n$ converge uniformemente em $E$ e cada $f_n$ é contínua, então $\sum f_n$ é contínua.
Demonstração. Consequência direta de: limite uniforme de funções contínuas é contínuo. $\blacksquare$
Teorema (Integração termo a termo). Se $\sum f_n$ converge uniformemente em $[a,b]$, então
$$
\int_a^b \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x)\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx.
$$
Demonstração. Pela convergência uniforme, dado $\varepsilon > 0$, para $N$ grande, $\left|\sum_{n>N}f_n(x)\right| < \varepsilon/(b-a)$ para todo $x$, logo $\left|\int_a^b \sum_{n>N} f_n\right| < \varepsilon$. $\blacksquare$
Teorema (Diferenciação termo a termo). Seja $\sum a_n x^n$ com raio $R > 0$. Então, para $|x| < R$,
$$
\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
$$
e a série derivada tem o mesmo raio de convergência $R$.
Demonstração. $\limsup |na_n|^{1/n} = \limsup n^{1/n}|a_n|^{1/n} = 1 \cdot \limsup |a_n|^{1/n} = 1/R$, logo o raio é o mesmo. A diferenciação termo a termo segue da convergência uniforme da série derivada em compactos de $(-R,R)$. $\blacksquare$
Exemplo 5. $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ para $|x|<1$. Derivando: $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum n x^{n-1}$.
Exemplo 6. Integrando $\sum x^n$: $-\ln(1-x) = \sum \frac{x^{n+1}}{n+1}$ para $|x|<1$.