Produto de Cauchy de Séries
Definição. O produto de Cauchy de $\sum a_n$ e $\sum b_n$ é $\sum c_n$ onde $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$.
Teorema (Mertens). Se $\sum a_n$ converge absolutamente e $\sum b_n$ converge, então o produto de Cauchy converge e $\sum c_n = \left(\sum a_n\right)\left(\sum b_n\right)$.
Exemplo 7. O produto de Cauchy de $\sum x^n$ consigo mesmo: $c_n = \sum_{k=0}^{n} x^k x^{n-k} = (n+1)x^n$. Logo $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum (n+1)x^n$ para $|x|<1$.