Supremo e Ínfimo
Definição. Seja $S \subset F$ não vazio e limitado superiormente.
- O supremo de $S$, denotado $\sup S$, é o menor dos limitantes superiores de $S$. Ou seja, $\alpha = \sup S$ se e somente se:
1. $s \leq \alpha$ para todo $s \in S$ ($\alpha$ é limitante superior).
2. Se $\beta$ é limitante superior de $S$, então $\alpha \leq \beta$ ($\alpha$ é o menor).
Definição. Analogamente, o ínfimo de $S$, denotado $\inf S$, é o maior dos limitantes inferiores.
Caracterização útil do supremo. $\alpha = \sup S$ se e somente se:
1. $s \leq \alpha$ para todo $s \in S$.
2. Para todo $\varepsilon > 0$, existe $s \in S$ com $s > \alpha - \varepsilon$.
A condição (2) diz que $\alpha$ não pode ser "diminuído" e continuar sendo limitante superior.
Exemplo 4. $\sup{1/n : n \in \mathbb{N}} = 1$. De fato, $1/n \leq 1$ para todo $n$, e $1 \in S$ (tomando $n=1$), logo $1$ é o menor limitante superior.
Exemplo 5. $\sup(0,1) = 1$. Toda cota superior de $(0,1)$ satisfaz $M \geq 1$: se $M < 1$, tome $x = (M+1)/2 \in (0,1)$ com $x > M$, contradição. Porém $1 \notin (0,1)$.