Máximo e Mínimo vs. Supremo e Ínfimo
Definição. Se $\sup S \in S$, escrevemos $\max S = \sup S$. Se $\inf S \in S$, escrevemos $\min S = \inf S$.
Exemplo 6. $\max{1, 2, 3} = 3 = \sup{1, 2, 3}$.
Exemplo 7. $\sup(0,1) = 1$, mas $\max(0,1)$ não existe (pois $1 \notin (0,1)$).
Exemplo 8. $\inf{1/n : n \in \mathbb{N}} = 0$, mas $\min{1/n : n \in \mathbb{N}}$ não existe (pois $0 \notin S$). Para ver que $\inf S = 0$: temos $1/n > 0$ para todo $n$, logo $0$ é cota inferior. Se $m > 0$ fosse cota inferior, existiria $n$ com $1/n < m$ (Arquimedes), contradição.
O Axioma da Completude
Axioma (Completude de $\mathbb{R}$). Todo subconjunto não vazio de $\mathbb{R}$ que é limitado superiormente possui supremo em $\mathbb{R}$.
Este axioma distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$! Em $\mathbb{Q}$, o conjunto ${q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2}$ é limitado superiormente, mas seu supremo (que seria $\sqrt{2}$) não pertence a $\mathbb{Q}$.