Propriedade Arquimediana
Teorema (Propriedade Arquimediana). Para quaisquer $a, b \in \mathbb{R}$ com $a > 0$, existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $na > b$.
Demonstração. Suponha, por contradição, que $na \leq b$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Então o conjunto $S = {na : n \in \mathbb{N}}$ é limitado superiormente por $b$. Pelo axioma da completude, existe $\alpha = \sup S$.
Como $\alpha$ é supremo de $S$ e $a > 0$, temos que $\alpha - a < \alpha$, logo $\alpha - a$ não é limitante superior de $S$. Portanto existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n_0 a > \alpha - a$, ou seja, $(n_0 + 1)a > \alpha$.
Mas $(n_0 + 1)a \in S$ (pois $n_0 + 1 \in \mathbb{N}$), e $\alpha$ é limitante superior de $S$, logo $(n_0+1)a \leq \alpha$. Contradição. $\square$
Corolário. Para todo $\varepsilon > 0$, existe $n \in \mathbb{N}$ com $1/n < \varepsilon$.
Corolário. $\mathbb{N}$ não é limitado superiormente em $\mathbb{R}$.