Densidade de $\mathbb{Q}$ em $\mathbb{R}$
Teorema. Entre quaisquer dois números reais distintos existe um racional. Isto é, se $a < b$ em $\mathbb{R}$, existe $q \in \mathbb{Q}$ com $a < q < b$.
Demonstração. Como $b - a > 0$, pela propriedade arquimediana existe $n \in \mathbb{N}$ com $n(b - a) > 1$, ou seja, $nb - na > 1$.
Seja $m$ o menor inteiro maior que $na$, isto é, $m = \lfloor na \rfloor + 1$. Então $m > na$, logo $m/n > a$.
Além disso, $m \leq na + 1 < nb$ (pois $nb - na > 1$). Logo $m/n < b$.
Portanto $q = m/n \in \mathbb{Q}$ satisfaz $a < q < b$. $\square$
Corolário. Entre quaisquer dois reais distintos existe também um irracional.
Demonstração. Se $a < b$, pelo teorema acima existe $q \in \mathbb{Q}$ com $a - \sqrt{2} < q < b - \sqrt{2}$. Então $r = q + \sqrt{2}$ satisfaz $a < r < b$, e $r$ é irracional (pois se $r \in \mathbb{Q}$, teríamos $\sqrt{2} = r - q \in \mathbb{Q}$, contradição). $\square$
Resumo da lição:
- Supremo: menor limitante superior. Ínfimo: maior limitante inferior.
- Axioma da completude: todo subconjunto não vazio limitado superiormente de $\mathbb{R}$ tem supremo.
- Propriedade arquimediana: para todo $a > 0$, ${na : n \in \mathbb{N}}$ não é limitado.
- $\mathbb{Q}$ é denso em $\mathbb{R}$.