A Função Exponencial
Definição. $\displaystyle e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$, $x\in\mathbb{R}$.
O raio de convergência é $R=\infty$ (pois $(n!)^{1/n}\to\infty$).
Propriedade fundamental. $e^{x+y}=e^x\cdot e^y$.
Demonstração. Pelo produto de Cauchy: $\left(\sum\frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum\frac{y^m}{m!}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\frac{y^{n-k}}{(n-k)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k y^{n-k}=\sum\frac{(x+y)^n}{n!}=e^{x+y}$. $\blacksquare$
Exemplo 1. $e^0=1$, $e^1=e=\sum\frac{1}{n!}\approx 2{,}71828$.
Exemplo 2. $(e^x)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^m}{m!}=e^x$.
Exemplo 3. $e^x>0$ para todo $x$, pois $e^x\cdot e^{-x}=e^0=1$.