Funções Trigonométricas
Definição.
$$
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \qquad \cos x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
$$
Ambas com raio $R=\infty$.
Propriedades.
- $(\sin x)'=\cos x$ e $(\cos x)'=-\sin x$ (por diferenciação termo a termo).
- $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ (via produto de Cauchy, verificando que os coeficientes da série resultante são todos nulos exceto o termo constante).
- $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.
Exemplo 4. $\sin x = x - \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$
Exemplo 5. $\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$
Definição de $\pi$. Define-se $\pi$ como o menor número positivo $t$ tal que $\cos(t/2)=0$. Pode-se mostrar que tal $t$ existe usando o teorema do valor intermediário.