Série Binomial
Teorema. Para $\alpha\in\mathbb{R}$ e $|x|<1$,
$$
(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}x^n,
$$
onde $\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$.
Demonstração (esboço). Seja $f(x)=(1+x)^\alpha$ e $g(x)=\sum\binom{\alpha}{n}x^n$. Mostra-se que $g$ satisfaz a EDO $(1+x)g'(x)=\alpha g(x)$ e $g(0)=1$. Como $f$ satisfaz a mesma EDO e condição inicial, e a EDO tem solução única, $f=g$. $\blacksquare$
Exemplo 6. $\alpha=1/2$: $(1+x)^{1/2}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3-\cdots$
Exemplo 7. $\alpha=-1$: $(1+x)^{-1}=\sum(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}$ (série geométrica).