Exponencial Complexa e Fórmula de Euler
Definição. Para $z\in\mathbb{C}$, $\displaystyle e^z = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$.
A série converge absolutamente para todo $z\in\mathbb{C}$ (raio $R=\infty$).
Teorema (Fórmula de Euler). Para $\theta\in\mathbb{R}$,
$$
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.
$$
Demonstração. $e^{i\theta}=\sum\frac{(i\theta)^n}{n!}$. Separando partes real e imaginária: os termos pares dão $\sum\frac{(-1)^n\theta^{2n}}{(2n)!}=\cos\theta$; os ímpares dão $i\sum\frac{(-1)^n\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}=i\sin\theta$. $\blacksquare$
Exemplo 8. $e^{i\pi}=-1$ (identidade de Euler).
Exemplo 9. $|e^{i\theta}|=\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta}=1$.
Série de potências complexa. $\sum a_n z^n$ com $a_n,z\in\mathbb{C}$ tem raio $R$ dado pela mesma fórmula de Hadamard. A teoria se estende naturalmente ao caso complexo.