Derivadas de Ordem Superior e Taylor

Nesta lição tratamos de derivadas de ordem superior e do teorema de Taylor, que fornece a melhor aproximação polinomial para funções diferenciáveis.

Derivadas de ordem superior

Se $f$ é diferenciável num intervalo $I$, a função $f':I\to\mathbb{R}$ pode, por sua vez, ser diferenciável. Nesse caso, $(f')'=f''$ é a segunda derivada de $f$.

Indutivamente, se $f^{(n-1)}$ é diferenciável, definimos $f^{(n)}=(f^{(n-1)})'$, a derivada de ordem $n$.

Exemplo 1. $f(x)=x^4$: $f'=4x^3$, $f''=12x^2$, $f'''=24x$, $f^{(4)}=24$, $f^{(n)}=0$ para $n\geq 5$.

Exemplo 2. $f(x)=1/x$: $f^{(n)}(x) = (-1)^n\,n!\,x^{-(n+1)}$.