Polinômio de Taylor
Definição. Se $f$ é $n$ vezes diferenciável em $a$, o polinômio de Taylor de grau $n$ de $f$ centrado em $a$ é:
$$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$
Propriedade fundamental: $P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ para $k=0,1,\ldots,n$.
Exemplo 3. Para $f(x)=e^x$ centrado em $a=0$: $f^{(k)}(0)=1$ para todo $k$, logo:
$$P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$$
Exemplo 4. Para $f(x) = \sin x$ em $a = 0$: $f(0)=0$, $f'(0)=1$, $f''(0)=0$, $f'''(0)=-1$, logo:
$$P_3(x) = x - \frac{x^3}{6}.$$